Mệnh đề logic

1. Mệnh đề logic

1.1 Khái niệm Mệnh đề logic:

• - Định nghĩa. Một mệnh đề (logic) (p, q, r, s,…) là một khẳng định mà nội dung của nó là đúng hoặc là sai, chứ không thể vừa đúng vừa sai.
• - Ví dụ: 1+1=2 là một mệnh đề, Hà Nội là thủ đô của Việt Nam là một mệnh đề, x+5=7 không phải là một mệnh đề, cô ấy thật sự rất xinh không phải là một mệnh đề…

1.2 Giá trị logic của một mệnh đề:

• - Một mệnh đề logic được gán giá trị T (true) nếu nó đúng hoặc F (false) nếu nó sai.
• - Các giá trị T, F được gọi là giá trị chân lý của mệnh đề đã cho. -
• -Bảng giá trị chân lý:
  • p: “Hà Nội là thủ đô của VN”
  • q: “Tổng các góc của một tam giác bằng 100 độ ”
• - Một mệnh đề phức hợp có thể xây dựng từ nhiều mệnh đề đơn giản bằng cách dùng các liên từ (toán tử lôgic).
• - Một số toán tử logic thường gặp.

1.3 Mệnh đề phức hợp:

- Ví dụ:
• . Nếu x là số nguyên, thì x2 cũng là số nguyên.
• . Trời vừa nắng, vừa mưa.
• . Để được đi du học, hoặc là bạn phải giỏi hoặc là bạn phải có tiền tự túc.
• . Bạn không được đi xe máy nếu bạn dưới 16 tuổi trừ phi đó là xe phân khối nhỏ hoặc khi bạn có giấy phép đặc biệt.

1.4 Phép phủ định(NOT):

Định nghĩa. Cho mệnh đề logic p. Câu “không phải là p” cũng là một mệnh đề logic, được gọi là phủ định của p, kí hiệu là ¬p

1.5 Phép AND

• . p: “Bác Hồ sinh ngày 19/5”
• . q: “Bác Hồ quê ở Nghệ An”.
• . p ∧ q: “Bác Hồ sinh ngày 19/5 và Bác Hồ quê ở Nghệ An”.
• . p ∧ ¬q: v “Bác Hồ sinh ngày 19/5 và Bác Hồ quê không ở Nghệ An”.
• . ¬ p ∧ q: v “Bác Hồ không sinh ngày 19/5 và Bác Hồ quê ở Nghệ An”.

1.6 Phép OR:

• Định nghĩa: Cho trước hai mệnh đề logic p, q. Câu nói “p hoặc q” cũng là một mệnh đề logic, được gọi là OR của p và q.
• Kí hiệu: p ∨ q.
• p ∨ q chỉ sai khi cả p và q đều sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

1.7 Phép XOR

• Định nghĩa: Cho trước hai mệnh đề logic p, q. Câu nói “hoặc p hoặc q” cũng là một mệnh đề logic, được gọi là XOR của p và q.
• Kí hiệu: p ∅ q.
• - p ∅ q đúng khi một trong hai p hoặc q đúng và sai trong trường hợp còn lại.

Ví dụ:
• . p: “Hồ Xuân Hương sinh ngày 3/5”.
• . q: “Hồ Xuân Hương sinh ngày 9/5”
• . thì p ∅ q là: “Hồ Xuân Hương hoặc sinh ngày 3/5 hoặc vào ngày 9/5”.
• . Có nghĩa rõ ràng là Hồ Xuân Hương chỉ có thể sinh vào một trong hai ngày 3/5 hoặc 9/5.

1.8 Phép kéo theo:

Định nghĩa. Cho trước hai mệnh đề logic p, q. Câu nói “nếu có p thì có q” cũng là một mệnh đề logic, được gọi là phép kéo theo của p và q, kí hiệu p -> q. p -> q chỉ sai nếu p đúng, q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

- Ví dụ:
• . p: “Tam giác ABC vuông tại đỉnh A”.
• . q: “BC2 = CA2 + AB2 ”.
• . p -> q: “Tam giác ABC vuông tại đỉnh A thì B^2 = CA^2 + AB^2 ”.

1.9 Phép tương đương

Định nghĩa. Cho trước hai mệnh đề logic p, q. Câu nói “p tương đương với q” cũng là một mệnh đề logic, kí hiệu p <-> q. Mệnh đề p <-> q chỉ đúng khi p và q cùng đúng hoặc cùng sai.

- Ví dụ:
• . p: “Tam giác ABC là tam giác đều”.
• . q: “Tam giác ABC có 3 cạnh bằng nhau”.
• . p <-> q: “Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau”.

1.10 Thứ tự ưu tiên:

- Quy tắc: Trong một mệnh đề phức hợp gồm nhiều toán tử lôgic, để chỉ định thứ tự thực hiện các toán tử lôgic ta dùng các dấu ngoặc. Khi không có dấu ngoặc thì thứ tự ưu tiên được thể hiện như sau:

2. Biểu thức logic và sự bằng nhau:

2.1 Biểu thức logic:

Định nghĩa. CMột biểu thức logic là một biểu thức được tạo thành từ các biến logic cho trước bằng cách áp dụng các toán tử logic và dấu ngoặc “(”, “)” một cách hình thức.

- Ví dụ:
• (¬(p ∨ q) -> r) -> p.
• . (q ∧ (r ∨ s)) -> p.
• . p <-> q: “Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau”.

2.2 Logic tương đương:

Định nghĩa: Một biểu thức logic luôn có giá trị chân lý T (F) với bất cứ giá trị chân lý nào của các mệnh đề thành phần được gọi là hằng đúng T (hằng sai F).

Biểu thức logic không phải hằng đúng hoặc hằng sai gọi là tiếp liên. Các mệnh đề logic p và q được gọi là tương đương logic nếu biểu thức logic p <-> q là mệnh đề logic hằng đúng. Khi đó p, q gọi là 2 mệnh đề logic tương đương (bằng nhau), kí hiệu p <-> q.

2.3 Các đẳng thức cơ bản:

Cho các p, q, r là các mệnh đề: