TẬP HỢP

1.Khái niệm tập hợp

Lý thuyết tập hợp được nhà toán học người Đức tên là Cantor xây dựng:

• Tập hợp là một tổng thể các đối tượng (được gọi là các phần tử của tập hợp) có cùng chung một tính chất chung nào đó.
• Ký hiệu:
  • Tập hợp ký hiệu bởi chữ in hoa A, Q, N, Z…
  • Phần tử ký hiệu bởi chữ in thường a, p, x...
  • a∈A; p∉A;
• Ví dụ:
  • Tập hợp các học sinh trong một lớp học.
  • Tập hợp các cuốn sách trong thư viện.
  • N là tập hợp các số tự nhiên.
  • Z là tập hợp các số nguyên.
    • 1 ∈ Z
    • ½ ∉ Z
• - Một tập hợp thường được biểu diễn như một phần mặt phẳng được giới hạn bởi một đường cong khép kín. Gọi là biểu đồ Venn.
• Biểu diễn tập hợp A
  • a ∈ A
  • b ∉ A
  
• - Biểu diễn tập hợp bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của nó.
  • Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp đã cho bằng cách mở đầu và kết thúc việc kê khai bởi dấu “{“ và “}”
  • Tập A bao gồm 3 phần tử là các số tự nhiên 1,2,3 v A = {1, 2, 3}
  • Tập B bao gồm 6 số nguyên dương đầu tiên? v B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• - Biểu diễn tập hợp thông qua quy luật đơn giản.
  • Liệt kê các phần tử đầu tiên của tập hợp, và sử dụng ba dấu chấm để thể hiện các phần tử khác mà có thể dễ dàng xác nhận được.
  • Tập hợp các số tự nhiên chẵn : A = {0, 2, 4, …}.
  • Tập hợp các số nguyên Z = {0, 1, -1, 2, -2, …}.
• - Biểu diễn tập hợp thông qua quy tắc nhận biết.
  • Đưa ra các quy tắc nhận biết các phần tử của tập hợp mà không cần biết việc kiểm tra tính chất nhận biết được đưa ra có dễ dàng hay không
  • Tập hợp các số nguyên tố, P = {p | p là số nguyên tố}
  • Tập hợp các nghiệm của pt x^2 - 2x + 1 = 0, X = {x | x^2 - 2x + 1 = 0}.

2. Tập hợp con và bằng nhau

2.1 Tập hợp con

Định nghĩa: Cho trước hai tập hợp A và B. Ta nói rằng tập hợp A là tập con của tập hợp B, nếu như mỗi phần tử của tập hợp A là phần tử của tập hợp B.

Ký hiệu: A ⊂ B.

• A là tập con của tập hợp B
• Tập hợp B chứa tập hợp A

Ví dụ:

• Tập hợp các số tự nhiên N là tập hợp con thực sự của tập hợp các số nguyên Z
• Tập hợp ∅ được quy định là tập hợp con của tất cả các tập hợp.
• Mỗi tập hợp bất kỳ cũng là tập hợp con của chính nó.

Tính chất: Quan hệ “chứa nhau” (⊂) của tập hợp là một quan hệ có tính chất phản xạ và bắc cầu:

• Với mọi tập hợp A ta có A ⊂ A
• Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C

2.2 Tập hợp bằng nhau:

Định nghĩa: cho trước hai tập hợp A và B là hai tập hợp bằng nhau khi và chỉ khi A là tập hợp con của tập hợp B và B là tập hợp con của tập hợp A

Ký hiệu: A = B

Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì A = B

Tính chất: quan hệ “bằng nhau” của tập hợp là quan hệ tương đương:

• Với mọi tập hợp A ta có A = A (tính phản xạ)
• Nếu A = B thì B = A (tính đối xứng)
• Nếu A = B và B = C thì A = C (tính bắc cầu)

3. Các phép toán của tập hợp:

3.1 Phép hợp:

Định nghĩa: cho trước tập hợp A và tập hợp B. Hợp của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B, và chỉ những phần tử đó mà thôi.

• Hợp của tập hợp A và tập hợp B được ký hiệu bởi A  B.
• A ⋃ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}

Tính chất:
• Luật đồng nhất: A ⋃ ∅ = A với mọi tập hợp A
• Luật nuốt: A ∈ U = U với mọi tập hợp A ⊆ U
• Luật lũy đẳng: A ⋃ A = A với mọi tập hợp A
• Luật giao hoán: A ⋃ B = B ⋃ A với mọi tập hợp A,B
• Luật kết hợp: (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ (B ⋃ C) với mọi tập hợp A, B, C

Bảng thuộc tính:
• Để chỉ một phần tử thuộc một tập hợp, dùng số 1
• Để chỉ phần tử không thuộc một tập hợp, dùng số 0

Định nghĩa: cho trước tập hợp A và tập hợp B. Hợp của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B, và chỉ những phần tử đó mà thôi.

• Hợp của tập hợp A và tập hợp B được ký hiệu bởi A  B.
• A ⋃ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}

Tính chất:
• Luật đồng nhất: A ⋃ ∅ = A với mọi tập hợp A
• Luật nuốt: A ∈ U = U với mọi tập hợp A ⊆ U
• Luật lũy đẳng: A ⋃ A = A với mọi tập hợp A
• Luật giao hoán: A ⋃ B = B ⋃ A với mọi tập hợp A,B
• Luật kết hợp: (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ (B ⋃ C) với mọi tập hợp A, B, C

Bảng thuộc tính:
• Để chỉ một phần tử thuộc một tập hợp, dùng số 1
• Để chỉ phần tử không thuộc một tập hợp, dùng số 0

3.2 Phép giao

Định nghĩa:cho trước tập hợp A và tập hợp B. Giao của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp chứa tất cả các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B, và chỉ những phần tử đó mà thôi

Ký hiệu:A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}

Tính chất:
• Luật đồng nhất: A ∩U = A với mọi tập hợp A ⊆ U
• Luật nuốt: A ∩ ∅= ∅với mọi tập hợp A
• Luật lũy đẳng: : A ∩ A = A với mọi tập hợp A
• Luật giao hoán: A ∩ B = B ∩A với mọi tập hợp A,B
• Luật kết hợp: (A ∩B) ∩C = A ∩(B ∩C) với mọi tập hợp A, B, C / A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩(A ∪ C)  A ∩(B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩C)

3.3 Phép trừ

Định nghĩa: cho trước tập hợp A và B. Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A mà không thuộc B, và chỉ những phần tử đó mà thôi.

Ký hiệu: A \ B hoặc A – B.

A - B = {x | x ∈ A và x ∉ B}.

Ví dụ: A = {0, 1, 2, 3}; U = N, A- = {4, 5, …}

3.4 Phép trừ đối xứng:

Định nghĩa: Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B là tập hợp chứa các phần tử chỉ thuộc đúng một trong hai tập hợp A và B (hoặc thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B), và chỉ chứa đúng các phần tử này mà thôi.

Ký hiệu:𝐴∆𝐵 hoặc 𝐴 ⊕𝐵, 𝐴 ⊕𝐵 = (A − B)⋃ (𝐵 − 𝐴)